Zad. 3
f(x) = ax + b
Z treści zadania: f(x) > 0 dla x ∈ (3, + ∞)
Stąd wynika, że miejscem zerowym danej funkcji jest liczba x₀ = 3
Zatem, punkt (3, 0) należy do wykresu tej funkcji, czyli do prostej y = ax + b
Jeśli punkt należy do prostej, to jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.
(3, 0) ∈ y = ax + b. Stąd:
a · 3 + b = 0
3a + b = 0
b = - 3a
Z treści zadania: A = (- 1, - 8) ∈ y = ax + b. Stąd:
a · (- 1) + b = - 8
- a - 3a = - 8
- 4a = - 8 |:(-4)
a = 2
b = - 3a
b = - 3 · 2
b = - 6
Zatem: f(x) = 2x - 6
Odp. Wzór funkcji spełniającej warunki zadania to: f(x) = 2x - 6.
Zad. 4
f(x) = ax² + bx + c
Z treści zadania: f(x) < 0 dla x ∈ (- 4, 6)
Stąd wynika, że miejscami zerowymi danej funkcji są liczby x₁ = - 4 i x₂ = 6.
Korzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Stąd:
f(x) = a(x + 4)(x - 6)
Z treści zadania: P = (- 3, - 18) ∈ y = a(x + 4)(x - 6). Stąd:
a · (- 3 + 4) · (- 3 - 6) = - 18
a · 1 · (- 9) = - 18
- 9a = - 18 |:(-9)
a = 2
Stąd: f(x) = 2(x + 4)(x - 6)
f(x) = 2(x + 4)(x - 6) = 2(x² - 6x + 4x - 24) = 2(x² - 2x - 24) = 2x² - 4x - 48
Zatem: f(x) = 2x² - 4x - 48 i a = 2, b = - 4, c = - 48
Odp. Współczynnikami funkcji kwadratowej spełniającej warunki zadania są: a = 2, b = - 4 i c = - 48.
Zad. 5b
W(x) = a(x³ - x² - 4x + 4), a ≠ 0
Z treści zadania: A = (3, 25) ∈ y = a(x³ - x² - 4x + 4). Stąd:
a · (3³ - 3² - 4 · 3 + 4) = 25
a · (27 - 9 - 12 + 4) = 25
a · 10 = 25
10a = 25 |:10
a = 2,5
Odp. Współczynnikiem danego wielomianu jest: a = 2,5.
