Długość przyprostokątnych trójkąta prostokątne: a, b i a, b > 0
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątne: c > 0
a, b, c to kolejne wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego
Zatem:
a = x - r, b = x, c = x + r, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego i r > 0
Długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny (oznaczamy go przez R, aby odróżnić od różnicy r ciągu arytmetycznego):
[tex]R = \frac{a + b - c}{2}[/tex] (patrz zał.)
Korzystamy z tw. Pitagorasa:
a² + b² = c²
(x - r)² + x² = (x + r)²
x² - 2xr + r² + x² = x² + 2xr + r²
2x² - 2xr + r² - x² - 2xr - r² = 0
x² - 4xr = 0
x · (x - 4r) = 0
x = 0 ∨ x - 4r = 0
x = 0 - odrzucamy, bo x > 0
x - 4r = 0
x = 4r
Zatem:
a = x - r = 4r - r = 3r
b = x = 4r
c = x + r = 4r + r = 5r
Stąd:
[tex]R = \frac{a + b - c}{2} \\\\ R = \frac{3r + 4r - 5r}{2} \\\\ R = \frac{2r}{2} \\\\ R = r[/tex]
co należało wykazać
