|x - 1| + |x + 3| = 4
1. Wyznaczamy przedziały, w których będziemy rozpatrywać rozwiązanie równania.
x - 1 = 0 x + 3 = 0
x = 1 x = - 3
Przedziały: (- ∞, - 3), ⟨- 3, 1), ⟨1, + ∞)
2. Rozwiązujemy równanie w ustalonych przedziałach.
a) x ∈ (- ∞, - 3)
W tym przedziale:
x - 1 < 0, to |x - 1| = - (x - 1) = - x + 1
x + 3 < 0, to |x + 3| = - (x + 3) = - x - 3
Zatem, w tym przedziale równanie ma postać:
- x + 1 - x - 3 = 4
- 2x - 2 = 4
- 2x = 4 + 2
- 2x = 6 |:(-2)
x = - 3 ∉ (- ∞, - 3)
x ∈ ∅
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie równania otrzymujemy: ∅ ∩ (- ∞, - 3) = ∅
Zatem: x ∈ ∅
b) x ∈ ⟨- 3, 1)
W tym przedziale:
x - 1 < 0, to |x - 1| = - (x - 1) = - x + 1
x + 3 ≥ 0, to |x + 3| = x + 3
Zatem, w tym przedziale równanie ma postać:
- x + 1 + x + 3 = 4
4 = 4 (tożsamość)
x ∈ R
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie równania otrzymujemy: R ∩ ⟨- 3, 1) = ⟨- 3, 1)
Zatem: x ∈ ⟨- 3, 1)
c) x ∈ ⟨1, + ∞)
W tym przedziale:
x - 1 ≥ 0, to |x - 1| = x - 1
x + 3 ≥ 0, to |x + 3| = x + 3
Zatem, w tym przedziale równanie ma postać:
x - 1 + x + 3 = 4
2x + 2 = 4
2x = 4 - 2
2x = 2 |:2
x = 1 ∈ ⟨1, + ∞)
x = 1
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie równania otrzymujemy: {1} ∩ ⟨1, + ∞) = {1}
Zatem: x = 1
3. Ustalamy ostateczne rozwiązanie równania |x - 1| + |x + 3| = 4, które jest sumą rozwiązań w rozpatrywanych przedziałach:
∅ ∪ ⟨- 3, 1) ∪ {1} = ⟨- 3, 1⟩
Zatem: x ∈ ⟨- 3, 1⟩
