Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q)
oraz [tex]p = \frac{-b}{2a}, \ q = \frac{-\Delta}{4a} \ lub \ q = f(p)[/tex]
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji
Jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to pierwsza współrzędna p wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji.
----------
a)
I sposób
f(x) = (x - 3)(x + 1)
a = 1, x₁ = 3, x₂ = - 1
[tex]p = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} =1 \\ q = f(1) = (1 - 3)(1 + 1) = - 2 \cdot 2 = - 4[/tex]
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = (x - 1)² - 4
II sposób
f(x) = (x - 3)(x + 1) = x² + x - 3x - 3 = x² - 2x - 3
f(x) = x² - 2x - 3
a = 1, b = - 2, c = - 3
Δ = (- 2)² - 4 · 1 · (- 3) = 4 + 12 = 16
[tex]p = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1}= \frac{2}{2} = 1 \\ q = \frac{-16}{4 \cdot 1} =\frac{-16}{4} =- 4[/tex]
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = (x - 1)² - 4
b)
I sposób
f(x) = - (x - 4)(x - 6)
a = - 1, x₁ = 4, x₂ = 6
[tex]p = \frac{4+6}{2} =\frac{10}{2} =5 \\ q = f(5) = - 1 \cdot (5 - 4)(5 - 6) = - 1 \cdot 1 \cdot (- 1) = 1[/tex]
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = - (x - 5)² + 1
II sposób
f(x) = - (x - 4)(x - 6) = - (x² - 6x - 4x + 24) = - (x² - 10x + 24) = - x² + 10x - 24
f(x) = - x² + 10x - 24
a = - 1, b = 10, c = - 24
[tex]p = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} =\frac{-10}{-2} = 5 \\ q = f(5) = - 5^2 + 10 \cdot 5 - 24 = - 25 +50-24 = 1[/tex]
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = - (x - 5)² + 1
