Cześć!
Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny. Graniastosłup ten ma łącznie 9 krawędzi, z czego sześć to krawędzie podstawy (nazwijmy je "a", wszystkie są sobie równe), a pozostałe trzy to wysokość bryły - przyjmijmy ją jako niewiadomą H.
Skoro biorąc na ladę graniastosłup mówimy o dwóch niewiadomych, które są długościami jego boków, musimy zapisać istotne założenia:
1° [tex]a>0\\[/tex]
2° [tex]H>0[/tex]
Z treści zadania wiemy, że suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 12, zatem układamy proste równanie:
[tex]6a+3H = 12\\\\2a+H=4[/tex]
Wyznaczamy jedną z dwóch niewiadomych - uznajmy, że wyznaczymy wysokość, gdyż będzie ona potrzebna nam do dalszej analizy:
[tex]H=4-2a[/tex]
Teraz musimy cofnąć się do założeń. Ustaliliśmy, że [tex]H>0[/tex]. Podstawmy zatem wyliczoną przez nas przed sekundą wartość wysokości, która oczywiście nie jest bezpośrednią liczbą:
[tex]4-2a>0\\\\4>2a\\\\a<2[/tex]
Otrzymaliśmy dwie nierówności dotyczące jednego parametru, czyli długości krawędzi podstawy (i tym samym boku trójkąta równobocznego). Aby uściślić swoje rozważania, należy znaleźć część wspólną obu tych przedziałów - [tex](0; +\infty)[/tex] i [tex](-\infty; 2)[/tex]. Szukaną częścią wspólną jest [tex]a \in (0,2)[/tex], co nazywamy dziedziną tego parametru.
Szukamy takiego graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego objętość jest możliwie największa i pokrywa się z danymi z zadania. Zanim to, musimy wyznaczyć faktyczny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
[tex]V = P_p \cdot H[/tex]
Wiemy, że w podstawie bryły jest trójkąt równoboczny, którego pole opisuje wzór [tex]P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:
[tex]V=\frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot H[/tex]
Znamy jeszcze ustaloną wartość wysokości w oparciu o dane, w takim razie również możemy wstawić ją do wzoru:
[tex]V=\frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot (4-2a)[/tex]
Wykonajmy teraz mnożenie i uprośćmy wzór:
[tex]V=\frac{(a^2\sqrt3)\cdot (4-2a)}{4} = \frac{4a^2\sqrt{3}-2a^3\sqrt{3}}{4}= \frac{2(2a^2\sqrt{3}-a^3\sqrt{3})}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3} - a^3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Otrzymaliśmy tym samym wzór funkcji zmiennej "a", zatem zapiszmy:
[tex]V(a) = \frac{2a^2\sqrt{3} - a^3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Teraz musimy obliczyć wartość pierwszej pochodnej, korzystając z tablic pochodnych i wzorów:
[tex]V'(a) = (\frac{2a^2\sqrt{3} - a^3\sqrt{3}}{2} )'\\\\V'(a) = \frac{1}{2}[2a^2\sqrt{3} - a^3\sqrt3]'\\\\V'(a) = \frac{1}{2} \cdot (2\cdot 2a\cdot \sqrt{3} - 3a^2 \cdot \sqrt{3})\\\\V'(a) = \frac{1}{2}(4a\sqrt{3} - 3a^2\sqrt{3})\\\\V'(a) = 2a\sqrt{3} - \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\\\\V'(a) =2a\sqrt{3} - a^2\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}\\\\V'(a) = (a\sqrt{3})(2-\frac{3a}{2})[/tex]
Teraz liczymy miejsca zerowe pochodnej, czyli przyrównujemy jej wartość do zera:
[tex]V'(a) = 0 \iff (a\sqrt{3})(2-\frac{3a}{2}) = 0[/tex]
Iloczyn dwóch czynników jest równy 0, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem:
[tex]V'(a) = 0 \iff (a\sqrt{3})(2-\frac{3a}{2}) = 0 \iff a\sqrt{3} = 0 \ \vee \ 2-\frac{3a}{2}=0[/tex]
Stąd dwa rozwiązania:
[tex]a=0 \ \vee \ 3a=4\\\\a_1 = 0 \ \vee \ a_2=\frac{4}{3}[/tex]
Wracamy do dziedziny. Wnioskujemy, że tylko jedno rozwiązanie jest tym właściwym, które spełnia założenie zadania, gdyż [tex]a_1 \not \in \mathbb{D}[/tex].
Szkicujemy wykres pochodnej. Pamiętamy - mimo tego, że 0 nie należy do dziedziny, mimo wszystko jest miejscem zerowym, dlatego również je zaznaczamy! Ramiona są skierowane do dołu, gdyż współczynnik przed [tex]a^2[/tex] jest ujemny. Badamy znaki:
Tam, gdzie pochodna jest ujemna, tam funkcja maleje. Maleje aż do [tex]0[/tex], dlatego możemy powiedzieć, że 0 jest minimum lokalnym. Następnie funkcja rośnie, bo pochodna jest dodatnia i osiąga swoje maximum w [tex]\frac{4}{3}[/tex]. Następnie pochodna znów jest ujemna i znowu funkcja zaczyna maleć.
Spełniliśmy warunek podany w naszym zadaniu - dla krawędzi [tex]a=\frac{4}{3}[/tex] funkcja osiąga swoje maximum, dlatego to jest wartość pierwszej szukanej krawędzi. Drugą krawędź liczymy z zależności z samego początku zadania: [tex]H=4-2a[/tex]:
[tex]H = 4-2\cdot \frac{4}{3}\\\\H = 4-\frac{8}{3}\\\\H = 4-2\frac{2}{3}\\\\H = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}[/tex]
Obliczamy maksymalną objętość:
[tex]V_m_a_x=\frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot H\\\\V_m_a_x=\frac{(\frac{4}{3})^2\sqrt3}{4} \cdot \frac{4}{3}\\\\V_m_a_x = \frac{\frac{16\sqrt{3}}{9}}{\not 4} \cdot \frac{\not 4}{3}\\\\V_m_a_x = \frac{\frac{16\sqrt{3}}{9}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{27}[/tex]
Pozdrawiam serdecznie!
