Dane jest równanie kwadratowe : x²-3mx+9=0 ( * ) .Równanie ( * ) ma dwa różne pierwiastki ,jeśli Δ > 0 .
Δ=(-3m)²-4·1·9=9m²-36=9(m²-4)
Δ > 0
9(m²-4) > 0 |:9
m²-4 > 0
(m+2)(m-2) > 0
m+2=0 ∨ m-2=0
m=-2 ∨ m=2
m ∈ (-∞,-2)∪(2,∞) ( I )
x1³+x2³ ≥ 26m³+4m²-48m
Przekształcimy lewą stronę tej nierówności :
x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1x2+x2²)=(x1+x2)[(x1+x2)²-2x1x2-x2²]=(x1+x2)[(x1+x2)²-3x1x2]
Korzystamy z wzorów Viete;a :
x1+x2=-(-3m) ⇔ x1+x2=3m
x1x2=9
3m[(3m)²-3·9]=3m(9m²-27)=27m³-81m
Czyli :
27m³-81m ≥ 26m³+4m²-84m
27m³-26m³-4m²-81m+84m ≥ 0
m³-4m²+3m ≥ 0
m(m²-4m+3) ≥ 0
m²-4m+3=0
Δm=(-4)²-4·1·3=16-12=4 , √Δm=√4=2
m1=(4-2)/2
m1=1
m2=(4+2)/2
m2=3
m(m-1)(m-3) ≥ 0
m=0 ∨ m-1=0 ∨ m-3=0
m=0 ∨ m=1 ∨ m=3
m ∈ <0,1> ∪<3,∞) (II )
Z warunków (I ) oraz ( II ) wynika,że : m ∈ <3,∞) .
