wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √tgx/sinx

Dla tego przedziału tangens jest ujemny dla x ∈ (-π/2, 0). Pamiętajmy, że tangens to funkcja okresowa, a więc będzie się to powtarzało co okres - w tym przypadku do kπ razy. Wobec tego zapiszmy dziedzinę z pierwszego warunku:

1. x ∈ R \ (-π/2 + kπ, kπ), k∈C

2. Dla przedziału <0, 2π) możemy zauważyć, że miejscami zerowymi funkcji sinus są argumenty 0 i π. Oczywiście zależność ta powtarza się co okres, a możemy to zapisać jako:

2. x [tex]\neq[/tex] kπ, k∈C

Łącząc dwa poprzednie warunki otrzymujemy:

x ∈ R \ (-π/2 + kπ, kπ>, k∈C

3. Trzeci przypadek wynika z tego, że aby funkcja tangens istniała, funkcja cosinus musi być różna od zera (można ten warunek zapisać również na podstawie wykresu tangensa poprzez wyłączenie argumentów, dla których on nie istnieje). Dla przedziału <0, 2π) zauważamy, że funkcja tangens ma miejsca zerowe dla argumentów π/2 i 3π/2. Oczywiście cosinus to funkcja okresowa, a więc zapisujemy to jako:

x ≠ π/2 + kπ, k∈C

Ale aby łatwiej uwzględnić to z poprzednimi założeniami zapiszemy:

x ≠ -π/2 + kπ, k∈C

Wobec tego łącząc wszystkie trzy warunki, otrzymujemy naszą dziedzinę:

D: x ∈ R \ <-π/2 + kπ, kπ>, k∈C

Pozdrawiam :)