[tex]x^4-(m+2)x^2-m=0[/tex]
Jeżeli podstawimy x² = t {t≥0} to otrzymamy równanie kwadratowe:
[tex]t^2-(m+2)t-m=0[/tex]
Gdzie: a = 1, b = -(m+2) i c = -m
Żeby równanie [tex]x^4-(m+2)x^2-m=0[/tex] miało 4 różne pierwiastki rzeczywiste równanie [tex]t^2-(m+2)t-m=0[/tex] musi mieć dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie.
{Dodatnie dlatego, że x² = t. Jeśli pierwiastek równania t²-(m+2)t-m=0 jest ujemny to mamy sprzeczność (bo x² nie może być liczbą ujemną), czyli brak rozwiązań początkowego równania. I żaden z nich nie może być =0 bo x²=0 tylko dla x=0, więc nie byłoby czterech różnych pierwiastków.}
Równanie kwadratowe ax²+bx+c=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jeśli jego wyróżnik jest dodatni (Δ>0), a oba te pierwiastki są dodatnie jeśli ich suma i iloczyn są również dodatnie (x₁+x₂>0 ∧ x₁·x₂>0).
Czyli równanie [tex]t^2-(m+2)t-m=0[/tex] będzie miało 2 różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie jeżeli spełnione będą warunki:
[tex]\begin{cases}\Delta_t>0\\t_1+t_2>0\\t_1\cdot t_2>0\end{cases}[/tex]
Pierwszy warunek:
[tex]\Delta_t=[-(m+2)]^2-4\cdot1\cdot(-m)=m^2+4m+4+4m=m^2+8m+4\\\\ \Delta_t>0\quad\iff\quad m^2+8m+4>0\\\\{}\qquad\qquad\qquad \Delta_m=8^2-4\cdot1\cdot4=64-16=48\\\\{}\qquad\qquad\qquad \sqrt{\Delta_m}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\\\{}\qquad m_1=\dfrac{-8-4\sqrt3}{2\cdot1}=-4-2\sqrt3\approx-7,46\\\\{}\qquad m_1=\dfrac{-8+4\sqrt3}{2\cdot1}=-4+2\sqrt3\approx-0,54[/tex]
Współczynnik przy m² jest >0 i trójmian większy od 0, więc rozwiązaniem jest suma przedziałów. Nierówność ostra, więc miejsca zerowe nie należą do rozwiązania.
Czyli z pierwszego warunku mamy:
[tex]\underline{m\in(-\infty\,;\,-4-2\sqrt3)\cup(-4+2\sqrt3\,;\,\infty)}[/tex]
Drugi warunek:
t₁ + t₂ > 0
Korzystając z wzorów Vieta'a mamy:
[tex]t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-[-(m+2)]}1=m+2\\\\m+2>0\\\\m>-2[/tex]
Czyli z drugiego warunku mamy:
[tex]\underline{m\in(-2\,;\,\infty)}[/tex]
Trzeci warunek:
t₁·t₂ > 0
Korzystając z wzorów Vieta'a mamy:
[tex]t_1\cdot t_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-m}1=-m\\\\-m>0\quad|:(-1)\\\\m<0[/tex]
Czyli z drugiego warunku mamy:
[tex]\underline{m\in(-\infty\,;\,0)}[/tex]
Wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie, czyli równanie [tex]x^4-(m+2)x^2-m=0[/tex] ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste dla:
[tex]m\in[(-\infty\,;\,-4-2\sqrt3)\cup(-4+2\sqrt3\,;\,\infty)]\cap(-2;\,\infty)\cap(-\infty\,;\,0)\\\\ \boxed{m\in\left(-4+2\sqrt3\ \,;\,\,0\right) }[/tex]
