[tex]9 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^{x+2} - 27 \geq 0 \\ 9 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^2- 3 \cdot 9 \geq 0 \\ 9 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 9- 3 \cdot 9 \geq 0 \ \ \ |:9 \\ (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x- 3 \geq 0[/tex]
Wprowadzamy zmienną pomocniczą: [tex]t = 3^x[/tex]
[tex]t^2 - 2t - 3 \geq 0 \\ a = 1, \ b = - 2, \ c = - 3 \\ Miejsca \ zerowe \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16; \ \sqrt{\Delta}= \sqrt{16} = 4 \\ t_1 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} =\frac{-2}{2} =-1 \\ t_2 = \frac{-(-2) +4}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} =\frac{6}{2} =3[/tex]
Uwzględniając nieostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. w zał.). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
[tex]t \in (- \infty, \ - 1\rangle \cup \langle 3, \ + \infty) \\ t \leq - 1 \ lub \ t \geq 3[/tex]
Stąd:
[tex]3^x \leq - 1 \ lub \ 3^x \geq 3 \\\\ 3^x \leq - 1[/tex]
nierówność nie ma rozwiązania, bo funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie
[tex]3^x \geq 3 \\ 3^x \geq 3^1[/tex]
podstawy potęg są takie same i większe od 1, a funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest rosnąca, więc nie odwracamy znaku nierówności
[tex]x \geq 1 \\ x \in \langle 1, \ + \infty)[/tex]
Odp. x ≥ 1, czyli x ∈ ⟨1, + ∞).
