Rozwiązane

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y takich, że |x|≠|y|, prawdziwa jest nierówność [tex]\frac{(x-y)(x^{3}+y^{3}) }{(x+y)(x^{3}- y^{3}) } \ \textgreater \ \frac{1}{3}[/tex]

Odpowiedź :

Z.   |x|≠|y|

T.  (x-y)(x³+y³)/(x+y)(x³-y³) > 1/3

Dowód :

Jeśli |x|≠|y| ,to x≠y ∧ x≠-y.

(x-y)(x³+y³)/(x+y)(x³-y³) > 1/3

(x-y)(x+y)(x²-xy+y²)/(x+y)(x-y)(x²+xy+y²) > /13

(x²-xy+y²)/(x²+xy+y²) > 1/3 |·3(x²+xy+y²)

3(x²-xy+y²) > x²+xy+y²

3x²-3xy+3y²-x²-xy-y² > 0

2x²-4xy+2y² > 0 |:2

x²-2xy+y² > 0

(x-y)² > 0 ( nierówność jest ostra , bo z założenia ; x≠y )

cnd.