Zad. 1
Korzystamy ze wzorów w zał. 1
[tex]log_{\sqrt{2}} \ x + log_{\sqrt{2}} \ (x - 6) = 8[/tex]
Założenie:
x > 0 i x - 6 > 0
x > 0 i x > 6
Zatem: x > 6
[tex]log_{\sqrt{2}} \ x + log_{\sqrt{2}} \ (x - 6) = 8 \\ log_{\sqrt{2}} \ x \cdot (x - 6) = 8 \\ x \cdot (x - 6) = (\sqrt{2})^8 \\ x^2 - 6x = ((\sqrt{2})^2)^4 \\ x^2 - 6x = 2^4 \\ x^2 - 6x = 16 \\ x^2 - 6x - 16 = 0 \\ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16) = 36 + 64 = 100; \ \sqrt{\Delta} =\sqrt{100} = 10 \\ x_1 = \frac{-(-6) - 10}{2 \cdot 1} =\frac{6-10}{2} =\frac{-4}{2} = - 2 < 6 \\ x_2= \frac{-(-6) +10}{2 \cdot 1} =\frac{6+10}{2} =\frac{16}{2} =8 > 6 \\ Zatem: \\ x = 8[/tex]
Odp. x = 8
Zad. 2
Wierzchołki trójkąta: A = (2; 1), B = (1; 3), C = (- 2; - 3)
a)
Długość boku AB (korzystamy ze wzoru 1 w zał. 2)
[tex]|AB| = \sqrt{(1 - 2)^2 +(3-1)^2} =\sqrt{(- 1)^2 +2^2} =\sqrt{1 +4} =\sqrt{5}[/tex]
b)
Równanie prostej AB (korzystamy ze wzoru 2 w zał. 2)
[tex](1 - 2)(y - 1) = (3-1)(x - 2) \\ - 1 \cdot (y - 1) = 2 \cdot (x - 2) \\ - y + 1= 2x - 4 \\ - y = 2x - 4 - 1 \\ - y= 2x - 5 \ \ \ |\cdot (- 1) \\ y = - 2x + 5 \ \ (posta\'c \ kanoniczna) \\ 2x + y - 5 = 0 \ \ (posta\'c \ og\'olna)[/tex]
c)
Odległość d wierzchołka C od boku AB (korzystamy ze wzoru 3 w zał. 2)
[tex]pr. AB: \ 2x + y - 5 = 0, \ C = (-2; \ - 3) \\\\ d= \frac{|2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3)+(-5)|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{|-4-3-5)|}{\sqrt{4+1}} = \frac{|-12|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}[/tex]
