Zad. 1
x² + 6x + 7 = 0
a = 1, b = 6, c = 7
Δ = 6² - 4 · 1 · 7 = 36 - 28 = 8; √Δ = √8 = √(4 · 2) = 2√2
[tex]x_1 = \frac{-6-2\sqrt{2}}{2 \cdot 1}= \frac{2 \cdot (-3-\sqrt{2})}{2}=-3-\sqrt{2} \\ x_2= \frac{-6+2\sqrt{2}}{2 \cdot 1}= \frac{2 \cdot (-3+\sqrt{2})}{2}=-3+\sqrt{2}[/tex]
Odp. x = - 3 - √2 lub x = - 3 + √2.
Zad. 2
Postać funkcji kwadratowej:
- ogólna: f(x) = ax² + bx + c
- kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q) oraz [tex]p = \frac{-b}{2a}[/tex], q = f(p) lub [tex]q = \frac{-\Delta}{4 \cdot a}[/tex]
- iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji
----------
Postać iloczynowa: y = (x + ¹/₃)(x - ¹/₃)
y = (x + ¹/₃)(x - ¹/₃) = x² - ¹/₉
Postać ogólna: y = x² - ¹/₉
Postać kanoniczna: y = x² - ¹/₉
Czynniki liniowe: x + ¹/₃ i x - ¹/₃
----------
Postać kanoniczna: y = 4(x + ¹/₂)²
y = 4(x + ¹/₂)² = y = 4(x² + x + ¹/₄) = 4x² + 4x + 1
Postać ogólna: 4x² + 4x + 1
Postać iloczynowa: y = 4(x + ¹/₂)²
Czynniki liniowe: x + ¹/₂ (czynnik podwójny)
----------
Postać ogólna: y = x² - 5x - 14
a = 1, b = - 5, c = - 14
Δ = (- 5)² - 4 · 1 · (- 14) = 25 + 56 = 81; √Δ = √81 = 9
[tex]p = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} =\frac{5}{2} =2\frac{1}{2} \\ q = \frac{-81}{4 \cdot 1} = \frac{-81}{4} =-20\frac{1}{2} \\ x_1 = \frac{-(-5)- 9}{2 \cdot 1} =\frac{5-9}{2} =\frac{-4}{2} =-2 \\ x_2 = \frac{-(-5)+ 9}{2 \cdot 1} =\frac{5+9}{2} =\frac{14}{2} =7[/tex]
Postać kanoniczna: y = (x - 2¹/₂)² - 20¹/₄
Postać iloczynowa: y = (x + 2)(x - 7)
Czynniki liniowe: x + 2 i x - 7
----------
Postać kanoniczna: y = 2x² + 6
Postać ogólna: y = 2x² + 6
a = 2, b = 0, c = 6
Δ = 0² - 4 · 2 · 6 = 0 - 48 = - 48 < 0
Zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli nie ma postaci iloczynowej.
Uzupełniona tabela w załączniku 1.
Zad. 3
x² - x + 5 > 0
Miejsca zerowe:
x² - x + 5 = 0
a = 1, b = - 1, c = 5
Δ = (- 1)² - 4 · 1 · 5 = 1 - 20 = - 19 < 0
Funkcja nie ma miejsc zerowych i a = 1 > 0, zatem parabola ma ramiona skierowane do góry i leży nad osią OX (rys. 1 w zał. 2)
Rozwiązaniem danej nierówność jest każda liczba rzeczywista.
Odp. x ∈ R
Zad. 4
x² - 8x + 7 ≥ 0
Miejsca zerowe:
x² - 8x + 7 = 0
a = 1, b = - 8, c = 7
Δ = (- 8)² - 4 · 1 · 7 = 64 - 28 = 36; √Δ = √36 = 6
[tex]x_1 = \frac{-(-8)-6}{2 \cdot 1} =\frac{8-6}{2} =\frac{2}{2} = 1 \\ x_2= \frac{-(-8)+6}{2 \cdot 1} =\frac{8+6}{2} =\frac{14}{2} =7[/tex]
Uwzględniając nieostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. 2 w zał. 2). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x ∈ (- ∞, 1⟩ ∪ ⟨7, + ∞)
Odp. x ∈ (- ∞, 1⟩ ∪ ⟨7, + ∞)
Zad. 5
a)
[tex]\begin{cases} x = 2\\ x + y = 5\end{cases} \\\\ \begin{cases} x = 2\\ 2 + y = 5\end{cases} \\\\ \begin{cases} x = 2\\ y = 5- 2\end{cases} \\\\ \begin{cases} x = 2\\ y = 3 \end{cases}[/tex]
Odp. x = 2 i y = 3
b)
[tex]\begin{cases} x = -1 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x = -1 \\ 2 \cdot (-1) + 4y = 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x = -1 \\ -2 + 4y = 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x = -1 \\ 4y = 2+2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x = -1 \\ 4y = 4 \ \ \ | : 4 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}[/tex]
Odp. x = - 1 i y = 1
