Zad. 7
Postać iloczynowa funkcji kwadratowe f(x) = ax² + bx + c:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
gdzie x₁, x₂ są miejscami zerowymi funkcji.
Funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej, gdy:
- ma dwa miejsca zerowe, czyli gdy Δ > 0
- jedno podwójne miejsce zerowe, czyli gdy Δ = 0
Funkcji kwadratowej nie można przedstawić w postaci iloczynowej, gdy nie ma miejsc zerowych, czyli gdy Δ < 0
----------
[tex]\boxed{TAK} \ 2x^2-11x+15 \\ a = 2, \ b = - 11, c = 15 \\ \Delta= (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 > 0; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1}=1 \\ x_1 = \frac{-(-11) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 1}{4} =\frac{10}{4} =\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{-(-11) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 1}{4} =\frac{12}{4} =3 \\ 2x^2-11x+15=2(x - 2\frac{1}{2})(x-3)[/tex]
[tex]\boxed{NIE} \ 3x^2+7x+5 \\ a = 3, \ b =7, c =5 \\ \Delta= 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = - 11 < 0[/tex]
[tex]\boxed{NIE} \ -4x^2- 3 \\ a = -4, \ b =0, c =-3 \\ \Delta= 0^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-3) = 0- 48 = -48 < 0[/tex]
[tex]\boxed{TAK} \ x^2 +17x \\ a = 1, \ b = 17, \ c = 0 \\ x^2 +17x = 0 \\ x \cdot (x + 17) = 0 \\ x = 0 \ \vee \ \cdot x + 17 = 0 \\ x_1 = 0 \ \vee \ x_2 = - 17 \\ x^2 +17x = x(x + 17)[/tex]
Zad. 8
[tex]\boxed{TAK} \ (x-3)^2 \\ y = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9[/tex]
Wykres funkcji y = (x - 3)² jest parabolą.
[tex]\boxed{TAK} \ \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4} \\ y = \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4} = \sqrt{(x^2 + 2)^2} = |x^2 + 2| = x^2 + 2[/tex]
Wykresem funkcji y = x² + 2 jest parabolą z ramionami skierowanym w górę, która nie ma miejsc zerowych, czyli leży nad osią OX, a nakładając wartość bezwzględną na całą funkcję, to część wykresu znajdującą się pod osią OX "odbijamy" ponad oś. Zatem w tym przypadku otrzymamy tę samą parabolę y = x² + 2.
[tex]\boxed{NIE} \ \sqrt{x^4 -8x^2 + 16} \\ y = \sqrt{x^4 -8x^2 + 16} = \sqrt{(x^2- 4)^2} = |x^2 - 4|[/tex]
Wykresem funkcji y = x² - 4 jest parabola z ramionami skierowanym w górę, która ma dwa miejsca zerowe 2 i - 2. Zatem nakładając wartość bezwzględną na całą funkcję, to część wykresu znajdującą się pod osią OX "odbijamy" ponad oś, czyli otrzymany wykres nie będzie parabolą.
[tex]\boxed{NIE} \ x^2 + x^3 \\ y = x^3 +x^2\\ x^3 + x^2 = 0 \\ x^2(x + 1) = 0 \\ x^2 = 0 \ \vee \ x + 1 = 0 \\ x = 0 \ \vee \ x = - 1[/tex]
Wykresy funkcji wielomianowych stopnia wyższego niż 2 mają rozmaite kształty. Wykres funkcji y = x³ + x² odbija się od osi OX w punkcie (0, 0) i przecina tę oś w punkcie (- 1, 0), czyli wykres nie będzie parabolą.
Zad. 9
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c:
f(x) = a(x - p)² + q
gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q) oraz [tex]p = \frac{-b}{2a}, \ q = f(p) \ lub \ q = \frac{-\Delta}{4a}[/tex]
Funkcję kwadratową zawsze można sprowadzić do postaci kanonicznej.
[tex]\boxed{TAK} \ 2x^2-11x+15 \\ a = 2, \ b = - 11, c = 15 \\ \Delta= (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 \\ p = \frac{- (-11)}{2 \cdot 2} = \frac{11}{4} =2\frac{3}{4} \\ q = \frac{- 1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8} \\ 2x^2-11x+15= 2(x -2\frac{3}{4})^2 -\frac{1}{8}[/tex]
[tex]\boxed{TAK} \ 3x^2 + 7x + 5 \\ a = 3, \ b = 7, c = 5 \\ \Delta = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = - 11 \\ p = \frac{- 7}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \\ q = \frac{- (-11)}{4 \cdot 3} = \frac{11}{12} \\ 3x^2 + 7x + 5= 3(x + 1\frac{1}{6})^2 + \frac{11}{12}[/tex]
[tex]\boxed{TAK} \ - 4x^2 - 3 \\ a = -4, \ b = 0, c = - 3 \\ y = - 4x^2 - 3[/tex]
[tex]\boxed{TAK} \ x^2 + 17x \\ a = 1, \ b = 17, c = 0 \\ \Delta = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 289 - 0 = 289 \\ p = \frac{- 17}{2 \cdot 1} = -\frac{17}{2} = -8\frac{1}{2} \\ q = \frac{- 289}{4 \cdot 1} =- \frac{289}{4}=-72\frac{1}{4} \\ x^2 + 17x= (x + 8\frac{1}{2})^2-72\frac{1}{4}[/tex]
