1. załóżmy, że 0=1
ale wówczas 0 musi być też elementem neutralnym mnożenia
weźmy element x różny od 0
wiemy z aksjomatów, że x*1=x
ale x*0=0≠x (to nie aksjomat ale łatwo z aksjomatów to udowodnić, jak coś to to też mogę rozpisać)
wychodzi nam sprzeczność czyli nie są równe
2. załóżmy, że 1<0
wiemy z aksjomatów porządku, że jeśli 1<0 to
1+x<0+x gdzie x należy do R
oczywiście z aks. o el. neut. dod. 0+x=x
z kolejnego aksjomatu wiemy, że możemy "pomnożyć stronami" przez element a>0 i nierówność będzie zachowana
(1+x)*a<x*a
z rozdzielności
a*1+x*a<x*a
oczywiście z aksjomatu o elemencie neut. mn. a*1=a
podobnie jak wcześnie teraz "dodajemy stronami" element przeciwny do x*a
a+x*a-x*a<x*a-x*a
oczywiście z aksjomatu o el. przeciwnym x*a+(-x*a)=0
mamy a+0<0 czyli a<0
jednak wcześniej zakładaliśmy, że a>0, więc mamy sprzeczność
--------
z aksjomatu o porównywalności el. w ciele mamy że dowolne dwa elementy x,y muszą spełniać jedną z następujących relacji: x<y, x=y, y<x
dla 0 i 1 wykluczyliśmy dwie pozostałe możliwości, zatem 0<1 q.e.d.
(być może dało się to jakoś prościej i ładniej udowodnić, ale niech będzie już tak)
