Odpowiedź:
a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 12 cm
3a₁ + 3r = 12 cm
3(a₁ + r) = 12 cm
a₁ + r = 12 cm : 3 = 4 cm
a₁ = (4 - r) cm
a₁ - jedna przyprostokątna
a₂ = a₁ + r - druga przyprostokątna
a₃ = a₁ + 2r - przeciwprostokątna
a₃² = a₁² + a₂²
(a₁ + 2r)² = a₁² + (a₁ + r)²
a₁² + 4a₁r + 4r² = a₁² + a₁² + 2a₁r + r²
a₁² + 4a₁r + 4r² = 2a₁² + 2a₁r + r²
a₁² - 2a₁² + 4a₁r - 2a₁r + 4r² - r² = 0
- a₁² + 2a₁r + 3r² = 0
- (4 - r)² + 4(4 - r) * r + 3r² = 0
- (16 - 8r + r²) + 16r - 4r² + 3r² = 0
- 16 + 8r - r² + 16r - r² = 0
- 2r² + 16r - 16 = 0
Δ = 16² - 4 * (- 2) * (- 16) = 256 - 128 = 128
√Δ = √128 = √(64 * 2) = 8√2
r₁ = (- 16 - 8√2)/(- 4) = - 4(4 + 2√2)/(- 4) = 4 + 2√2
r₂ = (- 16 + 8√2)/(- 4) = - 4(4 - 2√2)/(- 4) = 4 - 2√2
a₁ + r₁ = 4 cm
a₁ = 4 cm - r₁ = 4 cm - 4 cm - 2√2 cm = - 2√2 cm
Ponieważ a nie może być mniejsze od 0 więc :
a₁ = 4 cm - r₂ = 4 cm - 4 cm + 2√2 cm = 2√2 cm
a₂ = a₁ + r₁ = 4 cm + 4 cm + 2√2 cm = 8 cm + 2√2 cm
a₃ = a₁ + 2r₁ = 4 cm + 2(4 + 2√2) cm = 4 cm + 8 cm + 4√2 cm =
= 12 cm + 4√2 cm
a₁ + a₂ + a₃ = 12 cm
2√2 cm + 8 cm + 2√2 cm + 12 cm + 4√2 cm = 12 cm
8√2 + 20 cm ≠ 12 cm
L ≠ P
a₁ = 2√2 cm
a₂ = a₁ + r₂ = 2√2 cm + 4 cm - 2√2 cm = 4 cm
a₃ = a₂ + r₂ = 4 cm + 4 cm - 2√2 cm = 8 cm - 2√2 cm
a₁ + a₂ + a₃ = 12 cm
2√2 cm + 4 cm + 8 cm - 2√2 cm = 12 cm
4 cm + 8 cm = 12 cm
12 cm = 12 cm
L = P
Odp: boki trójkąta mają miary : 2√2 cm , 4 cm , 8 cm - 2√2 cm
