[tex]\begin{cases} (m-1)x+2y=1 \ \ \ |\cdot m \\ x+my=1 \ \ \ |\cdot (-2) \end{cases} \\\\ \begin{cases} m(m-1)x +2my = m \\ -2x-2my= -2 \end{cases} \\\\ \underline{\begin{cases} (m^2-m)x +2my = m \\ -2x-2my = -2 \end{cases}} \ \ \ |+ \\\\ (m^2-m)x-2x=m - 2 \\ (m^2-m- 2)x=m - 2 \\ ----------\\ m^2-m- 2 = (\ast) \\ \Delta = (-1)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-2) =1+8=9; \ \sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3 \\ m_1= \frac{-(-1)-3}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2} =\frac{-2}{2} = -1 \\ m_2=\frac{-(-1)+3}{2 \cdot 1} =\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex](\ast) = (m+1)(m - 2) \\ ----------\\ Zatem: \\ (m^2 - m - 2)x = m-2 \\ (m+1)(m - 2)x= m-2[/tex]
Sprawdzamy rozwiązanie układu w zależności od wartości parametru m
1° m = - 1, wtedy otrzymujemy:
(- 1 + 1)(- 1 - 2)x = - 1 - 2
0 \cdot (- 3) \cdot x = - 3
0 = - 3
Sprzeczność - równanie nie ma rozwiązań, czyli dla m = - 1 układ równań nie ma rozwiązań.
2° m = 2, wtedy otrzymujemy:
(2 + 1)(2 - 2)x = 2 - 2
3 \cdot 0 \cdot x = 0
0 = 0
Tożsamość - równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań dla m = 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań, są nimi współrzędne punktów należących do prostej:
x + my = 1
x + 2y = 1
2y = - x + 1 |:2
y = - ¹/₂ x + ¹/₂
Sprawdzamy, czy współrzędne punktów należących do prostej y = - ¹/₂ x + ¹/₂ spełniają warunek x + 2y > 0:
x + 2 · (- ¹/₂ x + ¹/₂) > 0
x - x + 1 > 0
1 > 0
Nierówność jest prawdziwa, czyli rozwiązaniem układu są współrzędne punktów należących do prostej y = - ¹/₂ x + ¹/₂ spełniające warunek zadania dla m = 2
3° m ≠ - 1 i m ≠ 2, wtedy otrzymujemy:
[tex](m + 1)(m - 2)x = m - 2 \ \ \ |:(m + 1)(m - 2) \\ x = \frac{m-2}{(m + 1)(m - 2)} \\ x = \frac{1}{m+1} \\\\ (m-1)x + 2y = 1 \\ (m-1) \cdot \frac{1}{m+1} + 2y = 1 \\ \frac{m-1}{m+1} + 2y = 1 \\ 2y = 1 - \frac{m-1}{m+1} \\ 2y = \frac{m+1}{m+1}- \frac{m-1}{m+1} \\ 2y = \frac{m+1-(m -1)}{m+1} \\ 2y = \frac{m+1-m+1}{m+1} \\ 2y = \frac{2}{m+1} \ \ \ |\cdot \frac{1}{2} \\ y =\frac{1}{m+1}[/tex]
Dla m ≠ - 1 i m ≠ 2 rozwiązaniem układu jest para liczb: [tex]x = \frac{1}{m+1} \ i \ y =\frac{1}{m+1}[/tex]
Sprawdzamy dla jakich wartości m spełniony jest warunek x + 2y > 0:
[tex]x + 2y > 0 \\ \frac{1}{m+1} + 2 \cdot \frac{1}{m+1} > 0 \\ \frac{1}{m+1} +\frac{2}{m+1} > 0 \\ \frac{3}{m+1} > 0 \ \ \ |\cdot (m+1)^2 \ i \ m + 1 \neq 0 \\ 3 \cdot (m+1) > 0 \ \ \ |:3 \\ m+1 > 0 \\ m > - 1 \\ m \in (- 1, \ + \infty)[/tex]
Uwzględniając, że m ≠ - 1 i m ≠ 2 rozwiązaniem układu jest para liczb: [tex]x = \frac{1}{m+1} \ i \ y =\frac{1}{m+1}[/tex] spełniająca warunek zadania dla m ∈ (- 1, 2) ∪ (2, + ∞)
Biorąc pod uwagę wszystkie rozważane przypadki, ostatecznie otrzymujemy, że rozwiązaniem układu jest para liczb (x, y) spełniająca warunek zadania dla m ∈ (- 1, + ∞).
