4.
[tex]\sin\frac\pi6+\sin\frac\pi4+\sin\frac\pi2=\frac12+\frac{\sqrt2}2+1= \frac{1+\sqrt2+2}2=\frac{\sqrt2+3}2\\\\\\ \sin\frac{2\pi}3\cdot\cos3\pi\cdot\text{tg\,}\frac{7\pi}6\cdot\text{ctg\,}\frac{5\pi}4=\\\\=\sin(\pi-\frac{\pi}3)\cdot\cos(2\pi+\pi)\cdot\text{tg\,}(\pi+\frac{\pi}6) \cdot\text{ctg\,}(\pi+\frac{\pi}4)=\\\\ =\sin\frac{\pi}3\cdot\cos\pi\cdot \text{tg\,}\frac{\pi}6 \cdot\text{ctg\,}\frac{\pi}4=\\\\=\frac{\sqrt3}2\cdot(-1)\cdot\frac{\sqrt3}3\cdot1= -\frac12[/tex]
5.
[tex]\frac14-\cos^2x=0\\\\-\cos^2x=-\frac14\\\\\cos^2x=\frac14\\\\\cos x=\frac12\qquad\vee\qquad\cos x=-\frac12\\\\x=\frac\pi3+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac\pi3+2k\pi\ ,\qquad k\in\mathbb C[/tex]
{C - zbiór liczb całkowitych}
[tex]3\,\text{tg}^2x-\dfrac1{\cos^2x}=5\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cos x\ne0\\\\3\cdot\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}-\dfrac1{\cos^2x}-5=0\ \ \qquad/\cdot\cos^2x\\\\3\sin^2x-1-5\cos^2x=0\\\\3(1-\cos^2x)-1-5\cos^2x=0\\\\3-3\cos^2x-1-5\cos^2x=0\\\\-8\cos^2x=-2\qquad/:(-8)\\\\\cos^2x=\frac14\\\\\cos x=\frac12\qquad\vee\qquad\cos x=-\frac12\\\\x=\frac\pi3+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac\pi3+2k\pi\ ,\qquad k\in\mathbb C[/tex]
