Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Pierwiastków całkowitych szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego, w tym przypadku dzielnikami 3 są: -1, 1, -3, 3
weźmy np. -1
f(-1)=(-1)³+6(-1)²+10*(-1)+3=-1+6-10+3=-2 tak więc nie jest to dzielnik
f(1)=1+6*1+10*1+3=20 także nie jest to dzielnik tego wielomianu
weźmy teraz f(-3)=-27+6*9+10*(-3)+3=-27+54-30+3=0
to jest zatem dzielnik danego wielomianu
Zgodnie z tw. Bezout'a wielomian dzieli się przez dwumian (x+3) czyli jego jednym z pierwiastków jest x=-3
x²+3x+1
x³+6x²+10x+3:(x+3)
-x³-3x²
3x²+10x
-3x²-9x
x+3
x+3
0
(x²+3x+1)(x+3)
Możesz policzyć Δ =9-4*1*1=5 √Δ=√5
[tex]x_1=\frac{-3-\sqrt{5} }{2} \\x_2=\frac{-3+\sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex](x+\frac{3+\sqrt{5} }{2} )(x+\frac{3-\sqrt{5}}{2} )(x+3)[/tex]
Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Wykorzystamy metodę grupowania wyrazów oraz wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
[tex]x^3+6x^2+10x+3=0\\x^3+3x^2+3x^2+x+9x+3=0\\x^2(x+3)+3x(x+3)+3(x+3)=0\\(x+3)(x^2+3x+1)=0\\\\x+3=0\ => x=-3\\\\x^2+3x+1=0\\a=1;\ b=3;\ c=1\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=3^2-4\cdot1\cdot1=9-4=5\\\sqrt\Delta=\sqrt5\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-3-\sqrt5}{2}\\x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/tex]
Zatem wielomian ma postać iloczynową:
[tex](x-3)(x-\frac{-3-\sqrt5}{2})(x+\frac{-3+\sqrt5}{2})=0[/tex]
A pierwiastki wielomianu:
[tex]x=-3\\\\x=\frac{-3-\sqrt5}{2}\\\\x=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/tex]
