Napisz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (5;-6) , B = (3;2 )

Znajdujemy wartość współczynnika kierunkowego prostej AB.
Znajdujemy wartość współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej AB.
Znajdujemy współrzędne środka odcinka AB.
Znajdujemy równanie prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez środek odcinka AB.

1. Równanie prostej w postaci kierunkowej: [tex]y=ax+b[/tex].

[tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy

Jeżeli prosta przechodzi przez punkty

[tex]A(x_A;\ y_A);\ B(x_B;\ y_B)[/tex]

to

[tex]a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

[tex]A(5;\ -6);\ B(3;\ 2)\\\\a_1=\dfrac{2-(-6)}{3-5}=\dfrac{8}{-2}=-4[/tex]

2. Niech

[tex]k:y=a_1x+b_1;\ l:y=a_2x+b_2\\\\l\perp k\iff a_1a_2=-1\to a_2=-\dfrac{1}{a_1}[/tex]

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:

[tex]a_2=-\dfrac{1}{-4}=\dfrac{1}{4}[/tex]

3. Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

[tex]A(x_A;\ y_A);\ B(x_B;\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]

[tex]A(5;\ -6);\ B(3;\ 2)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{5+3}{2};\ \dfrac{-6+2}{2}\right)\to S_{AB}\left(\dfrac{8}{2};\ \dfrac{-4}{2}\right)\to S_{AB}(4;\ -2)[/tex]

4. Znajdujemy równanie szukanej prostej

[tex]y=a_2x+b\\\\a_2=\dfrac{1}{4};\ S_{AB}(4;\ -2)\to x=4;\ y=-2\\\\-2=\dfrac{1}{4}\cdot4+b\\\\-2=1+b\qquad|-1\\\\-3=b\to b=-3[/tex]

Ostatecznie

[tex]y=\dfrac{1}{4}x-3[/tex]

Tabiaszczviz Tabiaszczviz · Answer 2

Dane są punkty A(5; -6) i B(3; 2), które leżą na prostej [tex]k[/tex], którą opisuje wzór funkcji [tex]f(x)[/tex].

Znając współrzędne tych punktów, można ustalić jaki współczynnik kierunkowy posiada funkcja [tex]f(x)[/tex]. Informacja ta jest niezbędna do ustalenie współczynnika kierunkowego funkcji opisującej równanie prostej prostopadłej do danej w zadaniu.

Współczynnik kierunkowy funkcji [tex]f(x)[/tex] to [tex]a_1[/tex] i stanowi on tangens kąta nachylenia prostej do osi 0X, więc korzystając z definicji tangensa można obliczyć [tex]a_1[/tex].

Warto tu napomnieć, że gdy mamy prostą, która przechodzi przez punkty [tex]P(x_1; y_1)[/tex] i [tex]Q(x_2; y_2)[/tex] to: [tex]a=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}[/tex]. Dlatego:

[tex]a_1=\frac{-6-2}{5-3}=\frac{-8}{2}=-4[/tex] a zatem gdy [tex]a<0[/tex] to funkcja jest malejąca [monotoniczność].

Załóżmy, że symetralna odcinka IAB| opisuje funkcja [tex]g(x)[/tex] o współczynniku kierunkowym [tex]a_2[/tex].

Wtedy zależność pomiędzy współczynnikiem kierunkowym prostej a symetralną (czyli osią symetrii, która przebiega prostopadle) musi zachodzić równość: [tex]a_1\cdot a_2=-1[/tex], a zatem: [tex]a_2=-a_1^{-1}[/tex], czyli: [tex]a_2=-(-4)^{-1}=-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}[/tex].

Innym warunkiem definiującym symetralną danego odcinka jest fakt, iż ona musi przebiegać przez środek [tex]S_{|AB|}[/tex] odcinka, dlatego zanim wyznaczymy równanie symetralnej (funkcji [tex]g(x)[/tex]) należy wyznaczyć współrzędne środka. Analogicznie dla przyjętych wyżej warunków, gdy mamy odcinek |AB| o końcach: [tex]A(x_1; y_1)[/tex] i [tex]B(x_2; y_2)[/tex] to środek [tex]S_{|AB|}(\frac{x_1+x_2}{2} ;\frac{y_1+y_2}{2} )[/tex], zatem:

[tex]S_{|AB|}=(\frac{5+3}{2};\frac{-6+2}{2})=(\frac{8}{2} ;\frac{-4}{2} )=(4; -2)[/tex]

Korzystając z równania kierunkowego funkcji liniowej mamy: [tex]g(x)=a_2x+b[/tex] potrzebujemy obliczyć wartość wyrazu wolnego [tex]b[/tex]. Zając już współrzędne środka i współczynnik kierunkowy, gdy podstawimy odpowiednie wartości uzyskujemy równanie I stopnia z jedną niewiadomą:

[rozumiemy wtedy, że:[tex]S_{|AB|}=(x; g(x))[/tex]]

[tex]-2=\frac{1}{4}\cdot4+b\\\\-2=1+b\\\\-2-1=b\\\\b=-3[/tex]

Więc równanie symetralnej [tex]l[/tex] to: [tex]l: g(x)=\frac{1}{4}x-3[/tex]