Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{m=-3\ \vee\ m=3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Musimy skorzystać ze wzorów Viete'a:
Dla równania kwadratowego [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] posiadającego pierwiastki rzeczywiste [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] mamy:
[tex]x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
Musimy przekształcić sumę odwrotności kwadratów pierwiastków tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a.
[tex]\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\dfrac{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}[/tex]
stasujemy wzory
[tex]\dfrac{\left(\frac{-b}{a}\right)^2-2\cdot\frac{c}{a}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\dfrac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}=\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\right)\cdot\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2-2ac}{a^2\!\!\!\!\!\!\diagup}\cdot\dfrac{a^2\!\!\!\!\!\!\diagup}{c^2}=\dfrac{b^2-2ac}{c^2}[/tex]
Mamy równanie
[tex]x^2+mx+1=0\\\\a=1;\ b=m;\ c=1[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{m^2-2\cdot1\cdot1}{1^2}=\dfrac{m^2-2}{1}=m^2-2[/tex]
Tworzymy równanie z treści zadania:
[tex]\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=7\Rightarrow m^2-2=7\qquad|+2\\\\m^2=9\to m=\pm\sqrt9\\\\\boxed{m=\pm3}[/tex]
Należy również sprawdzić, dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki.
Równanie kwadratowe [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] ma dwa różne pierwiastki gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex] jest dodatni.
Sprawdzamy:
[tex]\Delta=m^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4>0\\\\m^2-4>0\qquad|+4\\\\m^2>4\Rightarrow m>2\ \vee\ m < -2[/tex]
Nasze wartości parametru [tex]m[/tex] spełniają te warunki.
