Odpowiedź :
Sześciokąt foremny ABCDEF ma bok długości [tex]a[/tex].
Trójkąt ACE jest trójkątem równobocznym o boku długości [tex]24\ \textup{cm} : 3 = 8\ \textup{cm}[/tex].
Odcinki AC i BE przecinają się pod kątem prostym w punkcie Z, a zatem długość odcinka CZ to [tex]8\ \textup{cm} : 2 = 4\ \textup{cm}[/tex].
Skoro kąt BCD ma miarę [tex]120^{\circ}[/tex], a kąt ACE ma [tex]60^{\circ}[/tex], to kąt BCZ ma miarę [tex](120^{\circ} - 60^{\circ}) : 2 = 30^{\circ}[/tex].
Trójkąt BCZ jest więc trójkątem o kątach [tex]30^{\circ}[/tex], [tex]60^{\circ}[/tex] i [tex]90^{\circ}[/tex]. Skoro przyprostokątna CZ ma [tex]4\ \textup{cm} = \frac{a}{2}[/tex], to przeciwprostokątna stanowiąca bok sześciokąta ma [tex]a = 2 \cdot 4\ \textup{cm} = 8\ \textup{cm}[/tex].
Pole sześciokąta jest równe [tex]P = \frac{3a^2\sqrt{3} }{2} = \frac{3\ \cdot\ (8\ \textup{cm})^2\ \cdot\ \sqrt{3} }{2} = \frac{192\sqrt{3} \ \textup{cm}^2}{2} = 96\sqrt{3} \ \textup{cm}^2[/tex]
Trójkąt , o którym mowa w zadniu , jest trójkątem równobocznym o boku równym długości krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a. Oznaczmy :
x - długość boku sześciokąta foremnego
3x=24cm|:3
x=8cm
Korzystamy z wzoru :
x=a√3
a√3=8cm|:√3
a=8/√3 cm
Ps=6·a²√3/4
Ps=6·(8/√3 cm)²·√3/4
Ps=3·64/3·√3/2
Ps=32√3 cm²