Zad. 4
a)
Korzystamy z postaci kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q).
Z wykresu odczytujemy, że W = (0,2; 5), czyli p = 0,2 i q = 5, zatem:
f(x) = a(x - 0,2)² + 5
Odczytujemy również, że punkt (0, 2) należy do wykresu funkcji f, czyli jego współrzędne spełniają równanie wykresu funkcji f. Stąd:
a(0 - 0,2)² + 5 = 2
a(- 0,2)² + 5 = 2
a · 0,04 = 2 - 5
0,04a = - 3 |·100
4a = - 300 |:4
a = - 75
Wzór funkcji przedstawionej na rysunku: f(x) = - 75(x - 0,2)² + 5
b)
f(x) = - 75(x - 0,2)² + 5
gdzie x to czas w sekundach, y to wysokość w metrach
Z wykresu odczytujemy, że dziedziną funkcji przedstawionej na rysunku jest zbiór D = ⟨0, + ∞)
Jeśli piłka spadnie na ziemię, to y = 0
Zatem:
- 75(x - 0,2)² + 5 = 0
- 75(x² - 0,4x + 0,04) + 5 = 0
- 75x² + 30x - 3 + 5 = 0
- 75x² + 30x + 2 = 0
Δ = 30² - 4 · (- 75) · 2 = 900 + 600 = 1500; √1500 = √(100 · 15) = 10√15
[tex]x_1 = \frac{-30 - 10\sqrt{15}}{2 \cdot (-75)} = \frac{-30 - 10\sqrt{15}}{-150} =\frac{-10 \cdot (3+\sqrt{15})}{-150} = \frac{3+\sqrt{15})}{15} \approx 0,46 > 0 \\ x_2 = \frac{-30+ 10\sqrt{15}}{2 \cdot (-75)} = \frac{-30 + 10\sqrt{15}}{-150} =\frac{-10 \cdot (3-\sqrt{15})}{-150} = \frac{3-\sqrt{15})}{15} \approx - 0,06 < 0[/tex]
Odp. Piłka spadła na ziemię po ok. 0,46 s.
c)
y > 2,24 m
- 75(x - 0,2)² + 5 > 2,24
- 75(x² - 0,4x + 0,04) + 5 > 2,24
- 75x² + 30x - 3 + 5 > 2,24
- 75x² + 30x + 2 > 2,24
- 75x² + 30x + 2 - 2,24 > 0
- 75x² + 30x - 0,24 > 0
Δ = 30² - 4 · (- 75) · (-0,24) = 900 - 72 = 828; √828 = √(36 · 23) = 6√23
[tex]x_1 = \frac{-30-6\sqrt{23}}{2 \cdot (-75)} =\frac{-30-6\sqrt{23}}{-150} = \frac{- 6 \cdot (5+\sqrt{23}}{-150} = \frac{5+\sqrt{23}}{25} \\ x_2 = \frac{-30+6\sqrt{23}}{2 \cdot (-75)} =\frac{-30+6\sqrt{23}}{-150} = \frac{- 6 \cdot (5-\sqrt{23}}{-150} = \frac{5-\sqrt{23}}{25}[/tex]
[tex]x \in (\frac{5-\sqrt{23}}{25}, \ \frac{5+\sqrt{23}}{25})[/tex]
Zatem piłka wznosiła się ponad górną krawędzią siatki przez:
[tex]\frac{5+\sqrt{23}}{25}-\frac{5-\sqrt{23}}{25} = \frac{5+\sqrt{23} - (5-\sqrt{23})}{25}= \frac{5+\sqrt{23} - 5+\sqrt{23}}{25}=\frac{2\sqrt{23}}{25} \approx 0,38[/tex]
Odp. Piłka wznosiła się ponad górną krawędzią siatki przez ok. 0,38 s.
