Dana jest prosta y=-x+m oraz hiperbola y=(2x+2)/(x-1) .
Zapiszemy hiperbolę w postaci kanonicznej i wyznczymy asymptoty ( pionową i poziomą ).y=(2x+2)/(x-1)=(2x-2+4)/(x-1)=(2x-2)/(x-1)+4/(x-1)=2+4/(x-1) .
Asymptota pionowa : x=1
Asymptota pozioma : y=4
Wyznaczymy współrzędne wierzchołków trapezu ABCD :
A=(0,0)
y=-x+m
-x+m=0
-x=-m|:(-1)
x=m
B=(m,0)
-x+m=(2x+2)/(x-1) |·(x-1)
(-x+m)(x-1)=2x+2
-x²+x+mx-m=2x+2
-x²+x-2x+mx-m-2=0
-x²-x+mx-m-2=0
-x²-x(1-m)-m-2=0|:(-1)
x²+x(1-m)+m+2=0
Δ=0 ( hiperbola ma tylko jeden punkt wspólny z prostą y=-x+m )
Δ=(1-m)²-4·1·(+m+2)=1-2m+m²-4m-8=m²-6m-8
m²-6m-7=0
Δm=(-6)²-4·1·(-7)=36+28=64 , √Δm=√64=8
m1=(6-8)/2
m1=-1 - odpada , bo miejsce zerowe funkcji y=-x+m jest liczbą dodatnią
m2=(6+8)/2
m2=7
Zatem B=(7,0) .
Wyznaczymy współrzędne punktów C i D :
-x+7=(2x+2)/(x-1) |·(x-1)
(-x+7)(x-1)=2x+2
-x²+x+7x-7=2x+2
-x²+8x-2x-7-2=0
-x²+6x-9=0|:(-1)
x²-6x+9=0
(x-3)²=0
x-3=0
x=3
y=-3+7
y=4
Stąd : C=(3,4) , D=(0,4). Obliczymy pole trapezu ABCD :
|AB|=7 , |CD|=3 , |AD|=h=4
P=1/2h(|AB|+|CD|)
P=1/2·4·(7+3)
P=20 [j²]
