[tex]\cos^3x = \cos x \ \ \ \ \ | - \cos x\\\cos^3x - \cos x = 0\\\cos x(\cos^2 x - 1) = 0 \iff \cos x = 0 \lor \cos^2 x - 1 = 0\\\cos^2 x - 1 = 0 \iff \cos^2x = 1\\\cos x = \sqrt{1} \implies \cos x = \{-1,\ 1\}[/tex]
[tex]x = \frac{\pi}{2} + 2 k\pi \lor x = 2k\pi \lor x = \pi + 2k\pi[/tex]
Rozumiem, że do tej pory wszystko jasne. :)
Jak wiadomo, [tex]k \in \mathbb{C}[/tex]. Możemy zatem sformułować 3 ciągi, po jednym dla każdego rozwiązania.
Dla zobrazowania obliczmy 3 pierwsze wyrazu ciągu dla [tex]x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/tex]
Dla [tex]k = 0[/tex]: [tex]a_1 = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2} = 0,5\pi[/tex]
Dla [tex]k = 1[/tex]: [tex]a_2 = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 1 \cdot \pi = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2\pi}{1} = \frac{\pi}{2} + \frac{2 \cdot 2\pi}{2 \cdot 1} = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi[/tex]
Dla [tex]k = 2[/tex]: [tex]a_3 = \frac{9\pi}{2} = 4,5\pi[/tex]
Analogicznie dla [tex]x = 2k\pi[/tex]:
[tex]b_1 = 0\\b_2 = 2 \pi\\b_3 = 4\pi[/tex]
I dla [tex]x = \pi + 2k\pi[/tex]:
[tex]c_1 = \pi\\c_2 = 3\pi\\c_3 = 5\pi[/tex]
Zdefiniujmy nowy ciąg, w skład którego wchodziły będą wszystkie wyrazy wcześniejszych trzech ciągów:
[tex]d_1 = b_1 = 0\\d_2 = a_1 = 0,5 \pi\\d_3 = c_1 = \pi[/tex]
itd.
Mamy ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym [tex]d_n = (n - 1) \cdot 0,5\pi[/tex]
Zauważ, że wyraz [tex]d_1[/tex] jest równy 0. Nie jest to liczba ani dodatnia, ani ujemna, a my mamy uwzględnić wyłącznie rozwiązania dodatnie. Dlatego suma 50 najmniejszych dodatnich rozwiązań równania będzie sumą 51 pierwszych wyrazów ciągu (warunek dodatniości spełniają wyrazy od [tex]d_2[/tex] do [tex]d_{51}[/tex]).
No to obliczmy 51. wyraz: [tex]d_{51} = 50 \cdot 0,5\pi = 25\pi[/tex]
Na koniec musimy użyć wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
[tex]S_n = \frac{d_1 + d_n}{2} \cdot n[/tex]
[tex]S_{51} = \frac{25\pi}{2} \cdot 51 = 637,5\pi[/tex]