W trójkącie jeden z kątów ma miarę 120° . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi

wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Ja chciałbym zrozumieć, co z moim sposobem jest nie tak. W rozwiązaniach zmienną w twierdzeniu jest różnica ciągu. Dlaczego mi nie może to wyjść, skoro relacje między bokami są analogiczne, jak w przykładach z r ciągu? Bardzo proszę o dobitne wyjaśnienie. Nie chciałbym zapamiętywać kolejnego zadania na zasadzie: a tego typu zadania, robisz akurat tak, bo tak.

Rozwiązanie w załącznikach, moja rada że na maturze dostaje się tablice matematyczne na stronie CKE są wydrukuj i korzystaj tam są wszystkie wzory potrzebne do rozwiązania tego zadania nie trzeba wszystkich pamiętać, pozdrawiam

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer Link

Iga09viz Iga09viz · Answer 2

Oznaczmy boki trójkąta : a , a+r ,a+2r.

OΔ=30

a+a+r+a+2r=30

3a+3r=30|:3

a+r=10 - długość średniego boku trójkąta

a=10-r ( * )

Korzystamy z tw. cosinusów :

(a+2r)²=a²+10²-2·a·10·cos120° , gdzie cos120°=cos(180°-120°)=-cos60°=-1/2

(10-r+2r)²=(10-r)²+100-20·(-1/2)(10-r)

(10+r)²=100-20r+r²+100+10(10-r)

100+20r+r²=200-20r+r²+100-10r

20r+20r+10r=200

50r=200|:50

r=4

Stąd :

a=10-4

a=6

6+2·4=14

Zatem boki trójkąta mają długość : 6 , 10 , 14 .

R - długość okręgu opisanego na trójkącie

r - długość okręgu wpisanego w trójkąt

R/r=?

Korzystamy z wzorów :

R=(a+2r)/2sin120° , gdzie sin120°=sin(180°-60°)=sin60°=√3/2

R=14/2sin60°

R=7/(√3/2)

R=14/√3

R=14√3/3

r=PΔ/p , gdzie p=1/2·(6+10+14) czyli p=15

PΔ=1/2·10·6·sin120°

PΔ=30·√3/2

PΔ=15√3

Czyli :

r=15√3/15

r=√3

Ostatecznie :

R/r=(14√3/3)/(√3)=14/3