szkoła średnia
Dział Ciągi liczbowe, ciąg geometryczny
Przypomnijmy, że ciągiem nazywamy funkcje określona na pewnym podzbiorze (zwykle początkowym lub całym) zbioru liczb naturalnych.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy wyraz począwszy do drugiego powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez tę samą stałą oznaczana zwykle [tex]q[/tex], zwaną ilorazem tego ciągu.
Ciąg geometryczny jest dany wzorem ogólnym: [tex]a_n=a_1 \cdot q^{n-1}.[/tex]
Zauważmy, że kolejne wysokości osiągane przez odbijającą się piłkę można potraktować jako kolejne wyrazy malejącego ciągu geometrycznego i ilorazie [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex] i szóstym wyrazie [tex]a_6=32.[/tex]
W takim razie:
[tex]a_6=a_1 \cdot q^5\\32=a_1 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^5\\32=a_1 \cdot \dfrac{32}{243}\\\dfrac{32a_1}{243}=32 \vline \cdot \dfrac{243}{32}\\\boxed{a_1=243}[/tex]
Odpowiedź: Po pierwszym uderzeniu piłka wzniosła się na wysokość 243 metrów.
