Rozwiązane

Udowodnij że liczbe pierwiastek z 2 jest wymierna.

Odpowiedź :

Madzia3107viz
Otoz dowod :
zalozmy ze sqrt(2) jest liczba wymierna. Zatem da sie ja przedstawic w postaci ulamka nieskracalnego p/q. gdzie NWD(p,q)=1 i p,q naleza do calkowitych

sqrt(2)=p/q /do kwadratu
2*q^2=p^2
aby obie te strony bylyrowe to p musi byc podzielne przez 2. Zatem p^2 jest podzielne prze 2^2
czyli p jest posatci p=2*k
2*q^2=2^2*k^2 /:2
q^2=2*k^2
tu dochodzimy do sprzecznosci z zalozeniem NWD gdyz lewa strona nie jest podzielna przez dwa a prawa jest.
Czyli ta liczba jest niewymierna

^^
Krasiuviz
Postaram się wyjaśnić bardziej przejrzyście:

Każdą liczbę wymierną zapisać możemy w postaci p/q, gdzie
p i q ∈ C
q ≠ 0

Załóżmy więc, że √2 jest wymierny, można zapisać go zatem w postaci podanej wyżej:
√2=p/q
Obie strony mnożymy przez q
√2*q=p
Obie strony podnosimy do kwadratu
2q²=p²
Czyli
2*q*q=p*p
W lewej stronie przy rozkładzie na czynniki pierwsze ZAWSZE otrzymamy nieparzystą liczbę 2
W prawej stronie przy rozkładzie na czynniki pierwsze ZAWSZE otrzymamy parzystą liczbę 2

Co uświadamia nam, że równość nie zajdzie nigdy, bo
L ≠ P

Czyli √2 ∈ NW

Viz Inne Pytanie