Rysunek trójkąta w którym wysokość i środkowa dzielą kąt na trzy kąty o równych miarach
Sposób rozwiązania zadania
Posługując się przystawaniem trójkątów i własnościami trójkąta (suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni) obliczymy wszystkie kąty w zależności od kąta alfa i ustalimy proporcje odcinków w zależności od odcinków a oraz b.
Wysokość EF
Kluczem jest dorysowanie wysokości CF w trójkącie CEB i zauważenie, że trójkąt BEF jest połową trójkąta równobocznego.
Trójkąt równoboczny pozwala obliczyć miary kątów
Ponieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60 stopni, więc możemy obliczyć miarę kąta alfa.
Kąt alfa
Z warunków zadania wynika, że alfa = |<ACD| = |<DCE| = |<ECB|
Przystawanie trójkątów CDA i CDE
Trójkąt CDA jest przystający do trójkąta CDE na zasadzie przystawania trójkątów kbk (kąt bok kąt), gdyż:
alfa = |<ACD| = |<DCE|
Bok h = |CD| wspólny dla obu trójkątów
Kąty CDA i CDE są proste (CD wysokość)
Odcinki trójkątów CDA i CDE
Z przystawania trójkątów CDA i CDE otrzymujemy:
a = |DA| = |DE|
b = |CA| = |CE|
90 stopni - alfa = |<DAC| = |<DEC|
Odcinek EB
Odcinek EB ma długość 2a, gdyż jest równy długości odcinka AE (CE jest środkową)
Wysokość trójkąta BEC
Dorysowując odcinek EF - wysokość w trójkącie BEC otrzymujemy, że trójkąty CEF i CED są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt), gdyż:
alfa = |<DCE| = |<ECB|
Odcinek b = |CE| jest wspólny dla obu trójkątów
90 stopni - alfa = |<CED| = |<CEF|
Długość odcinka EF
Z przystawania trójkątów CEF i CED wynika, że
a = |EF|
gdyż odcinki naprzeciw równym kątów są równe w przystających trójkątach.
W trójkącie CED naprzeciw kata alfa jest odcinek długości a, zatem, w trójkącie CEF naprzeciw kąta alfa jest również odcinek długości a.
Trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB
Przedłużając odcinek EF o długość a otrzymujemy trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB na zasadzie przystawania trójkątów bkb:
|EF| = |FG| = a (odcinek EF został przedłużony o odcinek FG o długości a)
90 stopni = |<BFE| = |<BFG|
Odcinek FB jest wspólny dla obu trójkątów
Trójkąt GEB jest równoboczny
Z przystawania trójkątów FGB i FEB wynika, że odcinek |GB| = |EB| = 2a (obydwa odcinki leżą naprzeciw kąta 90 stopni).
Zatem trójkąt GEB jest równoboczny - wszystkie boki mają długość 2a.
Miara kąta alfa
Zatem kąt GEB ma miarę 60 stopni, czyli:
2*alfa = 60 stopni
alfa = 30 stopni
Miara kąta ACB
Zatem kąt ACB ma miarę 90 stopni gdyż jest jego miara to 3*alfa, zaś trójkąt ACB jest prostokątny.
