Rozwiązane

W równoległoboku o obwodzie 40 cm przekątne są dwusiecznymi kątów, a ich długości mają się do siebie jak 3:4. Oblicz długości tych przekątnych.

Proszę o dokładne obliczenia.

Odpowiedź :

YourDream92viz
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.
Rozpatrzmy trójkąt, powstały z dwóch boków równoległoboku i jednej z przekątnych. Druga przekątna to przedłużenie dwusiecznej kąta.
Dwusieczna w trójkącie dzieli bok przeciwległy w stosunku równym stosunkowi dwóch pozostałych boków.
Ponieważ jest to podział na połowy, to ten stosunek wynosi 1:1.
Zatem i boki równoległoboku są sobie równe.
Zatem jest to ROMB, z obwodu wynika długość jego boku.
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.
Połówka jednej wynosi 3x, połówka drugiej 4x.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, utworzonym przez połówki przekątnych i bok tego rombu, obliczysz x.

X, to niewiadoma.
Skoro stosunek długości tych przekątnych wynosi 3:4, to oznacza, że jeżeli pierwszą przekątną podzielimy na 3 części, to długość drugiej przekątnej będzie wynosić 4 takie części.
I długość takiej "jednej części", to właśnie wartość x

a²=(1,5x)²+(2x)²

I z takiego równania masz wyznaczyć x.
1) Narysuj sobie ten równoległobok ABCD i zaznacz przekątne przecinające się w punkcie S.

2) Ponieważ przekątne są dwusiecznymi kątów, to możemy zapisać:

0,5*kąt(A) + 0,5*kąt (B)=0,5*(kąt(A)+kąt(B))=0,5*180stopni=90stopni

Oznacz, to, że trójkąt ASB jest trójkatem prostokątnym o kącie prostym w wierzchołku S

Czy to jest dla Ciebie zrozumiałe i wiesz dlaczego tak jest?

3) Zauważ, że równoległobok w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, to romb.

4) Znając jego obwód policz długość boku rombu.

5) Oznacz długości przekątnych przez 3x i 4x (wiesz dlaczego?)

6) Napisz tw. Pitagorasa dla trójkąta ABS i z otzrymanego równania wyznacz x. Długości boków, to oczywiście 3x i 4x

Czt te wyjaśnienia są dla Ciebie zrozumiałe i wystarczające do zrobienia zadania?
Matematyk280viz
pierwsze rozumowanie jest poprawne,z tego że w efekcie jest to romb,a=10 cmponieważ obwód ma 40cm,podstawiam do:a²=(3/2x)²+(4/2x)²
10²=9/4x²+4x²
100=25/4x² mnoże obie strony przez 4/25
x²=16
x=√15
x=4 cmto jedna przekątna ma 12cm,a druga przekątna ma 16cm

Viz Inne Pytanie