dane:
α = 60 st.
β = 45 st.
v0 = 10 m/s
szukane:
d = ? (odległość między wierzchołkiem skarpy a punktem, w którym wyląduje kamień)
w chwili t = 0:
składowe prędkości
v0x = v0 * sinα
v0y = v0 * cosα
połozenie kamienia:
x = 0
y = h (wysokość skarpy; nieznana, ale - jak się okaze - jej dokładna wartość jest niepotrzebna)
załozenie: skarpa się nie kończy, tzn. dla wszystkich punktów x > 0 (na prawo od wierzchołka skarpy) mamy:
y = - (tgβ) * x + h (*)
[gdyby skarpa miała określony koniec, tj. gdybyśmy dla x większych od jakiejś określonej wartości (nazwijmy ją a) mieli stałe y, to trzeba by nieco zmodyfikować końcową dyskusję; ale metoda będzie zasadniczo taka sama]
wyznaczymy teraz trajektorię ruchu kamienia (tj. zalezność między współrzędnymi jego połozenia y = f(x))
dla rzutu ukośnego w polu grawitacyjnym blisko powierzchni ziemi w chwili t mamy:
x = v0x * t (**)
y = h + v0y *t - 0,5 * g * t² (***)
[minus w trzecim składniku, bo przyspieszenie ziemskie ma zwrot przeciwny do zwrotu prędkości początkowej v0]
z równania (**) wyznaczamy czas t:
t = x / v0x
podstawiamy ten wynik do (***):
y = h + (v0y / v0x) * x - 0,5 * (g / v0x²) * x²
czyli równanie trajektorii ruchu kamienia ma postać:
y = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x²
połozenie punktu, w którym kamień zetknie się z ziemią, wyznaczamy jako punkt przecięcia się prostej (*) i otrzymanej trajektorii:
- (tgβ) * x + h = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x²
po przekształceniach mamy:
(g / (2 * v0² * sin²α)) * x² - (tgβ + tgα) * x = 0
równanie to ma dwa miejsca zerowe
x0 = 0 [tu kamień wyrzucono]
i
x1 = [(2 * v0² * sin²α) * (tgβ + tgα)] / g [tu kamień dotknie ziemi]
aby znaleźć odległość między punktami (0, h) i (x1, y1), podstawiamy x1; do równania (*):
y1 = - (tgβ) * x1 + h
odległość:
d = √[(x1-0)² + (y1-h)²]
d = √(x1² + tg²β * x1²)
d = x1 * √(1 + tg²β) = x1 / cosβ
stąd:
d = [(2 * v0² * sin²α) * (tgβ + tgα)] / (g * cosβ)
d = 59,08 = 59 m
poniewaz jest to dość duza wartość jak na odległość wzdłuz skarpy, trzeba by raczej szukać rozwiązania tam, gdzie skarpa się juz skończyła, tj. dla x > a
wtedy przyrównujemy trajektorię do równania y = 0 (wysokość podnóza skarpy):
0 = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x²
jednak, aby rozwiązać to równanie i znaleźć punkt zetknięcia się kamienia z ziemią "na płaskim", trzeba by znać wysokość h...
