Rozwiązane

Oblicz pole figury ograniczonej prostymi : 2x+y+4=0 i -½x+y+1=0 oraz osią OY.

Odpowiedź :

Hansviz
2x+y+4=0 i -½x+y+1=0

Punkt wspolny
2x+y+4=0 →y=-2x-4 zalacznik
-½x+y+1=0 → y=1/2x-1 zalacznik
-2x-4=1/2x-1
-4x-8=x-2
5x=-6
x=-1,2
y=2,4-4=-1,6

Pole figury to dwa trojkat i trpaez
P=1/2*0,8*1,6+1/2(1+1,6)*1,2=

musze konczyc policz

pozdrawiam

Zobacz obrazek Hans
proste 2x+y+4=0 i -½x+y+1=0 sa prostopadłe, poniewaz iloczyn wspolczynnikow kierunkowych jest rowny -1, co jest warunkiem prostopadlosci
czyli figura ta to trojkat prostokatny, wyznaczamy przyprostokatne, czyli najpierw punkt A przeciecia sie prostych (to bedzie wierzcholek kata prostego), a potem punkty B i C przeciecia sie prostych z OY

punkt przeciecia sie prostych
2x+y+4=0
-½x+y+1=0 odejmuje stronami te rownania i mam
2x+y+4+½x-y-1=0
2½x+3=0
5x/2=-3
x=-3 razy 2/5
x=-6/5
wstawiam x=-6/5 do I rownania i wyliczam y
y=-2x-4
y=-2 razy (-6/5)-4=12/5-4=12/5-20/5=-8/5
Punkt przeciecia A(-6/5, -8/5)

punkty B i C przeciecia sie prostych z OY (wtedy x=0)
B: 2x+y+4=0
y=-4
B(0,-4)
C: -½x+y+1=0
y=-1
C(0,-1)
teraz dlugosci Przyprostokatnych
AB, AC
|AB|=pierwiastek z {[0-(-6/5)]²+[-4-(-8/5)]²}=pierwiastek z (36/25+144/25)= pierwiastek z (180/25)=6√5/5
|AC|=pierwiastek z {[0-(-6/5)]²+[-1-(-8/5)]²}=pierwiastek z (36/25+9/25)=pierwiastek z (45/25)=3√5/5

pole trojkata P
P=½|AB||AC|=½(6√5/5)(3√5/5)=9/5
pole figury jest rowne 9/5


Saratviz
l1: 2x+y+4=0 -> y=-2x-4
l2: -1/2x+y+1=0 -> y=1/2x-1
l3: y=y

wyznaczam punkt przecięcia się prostych:
l1 i l2

y=-2x-4
y=1/2x-1 mnożę *4

y=-2x-4
4y=2x-4 dodaję stronami

5y=-5

y=-8/5
po podstawieniu wychodzi, że
x=-6/5
czyli punkt przecięcia prostych l1 i l2 to B(-6/5,-8/5)

obliczam punkt przecięcia się prostych l1 i l3
y=-2x-4
x=0

y=-4

A(0,-4)

Obliczam punkt przecięcia się prostych l2 i l3
y=1/2x-1
x=0

y=-1

C(0,-1)

Podsumowując:
A(0,-4)
B(-6/5,-8-5)
C(0,-1)

Wyznaczam wektor AB
AB=[-6/5-0 , -8/5+4]=[-6/5,12/5]
Wyznaczam wektor AC
AC=[0-0 , -1+4]=[0,3]

Prosta l1 i l2 są do siebie prostopadłe, więc powstała figura to trójkąt prostokątny.
Pole trójkąta można policzyć ze wzoru
P=1/2 Idet(AB,AC)I gdzie det jest stałą

...........-6/5 12/5
P=1/2 I..................I = 1/2 I 3* (-6/5) - 0* 12/5 I = I-18/5 -0 I =
........... 0 3

= 18/5

I.....I - wyznacznik
I wartość bezwzględna