Rozwiązane

wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie sinx=m²-4m+4, 0 stp < x < 90 stp ma rozwiązanie.

Odpowiedź :

0° < x < 90° , czyli x znajduje się w pierwszej ćwiartce.

W I ćwiartce funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału (0; 1).

0 < m² - 4m + 4 < 1
m² - 4m + 4 > 0 ∧ m² - 4m + 4 < 1
(m - 2)² > 0 ∧ m² - 4m + 3 < 0
(m - 2)² > 0 ∧ m² - m - 3m + 3 < 0
(m - 2)² > 0 ∧ m(m - 1) - 3(m - 1) < 0
(m - 2)² > 0 ∧ (m - 3)(m - 1) < 0

Z pierwszego warunku mamy:
(m - 2)² > 0 <=> m∈R \ {2} <=> m ∈(-∞; 2)u(2; +∞)

Z drugiego:
(m - 3)(m - 1) < 0 <=> (m - 1)(m - 3) < 0 <=> m∈(1; 3)

Łącząc oba warunki otrzymujemy:
m∈(1; 2)u(2; 3)

Odp. Dla m∈(1; 2)u(2; 3)
Maciekregviz
0° < x < 90° → 0 < sinx < 1
0 < sinx < 1 → 0 < m²-4m+4 < 1

Δ = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
m = -(-4)/2 = 2

m² - 4m + 4 = (m-2)²

0 < (m-2)² < 1 <=> 0 < |m-2| < 1

-1 < m-2 < 0 ∨ 0 < m-2 < 1
1 < m < 2 ∨ 2 < m < 3

Rozwiązanie:

m ∈ (1,2) ∨ (2,3)
lub inaczej zapisując:
m ∈ (1,3)/{2}

Viz Inne Pytanie