Odpowiedź :
z^2 + 4z + 5 = 0
delta = 16 -20 = - 4 = 4*i^2, gdzie i jednostka urojona ,i^2 = -1
pierw.z delty = 2i
z1 =[-4 -2i]/2 = -2 - i
z2 =[-4 +2i]/2 = 2 + i
b) z^4 - 2z^2 +4 = 0
podstawiamy za z^2 = x
x^2 -2x + 4 = 0
delta = 4 -16 = - 12 =4*3*i^2
pierwiastek z delty =2*pierw.z 3 *i
x1 = [2 -2 pierw. kw.z 3 *i]/2
x2 = [2 +2 pierw. kw.z 3 * i]/2
itd.
delta = 16 -20 = - 4 = 4*i^2, gdzie i jednostka urojona ,i^2 = -1
pierw.z delty = 2i
z1 =[-4 -2i]/2 = -2 - i
z2 =[-4 +2i]/2 = 2 + i
b) z^4 - 2z^2 +4 = 0
podstawiamy za z^2 = x
x^2 -2x + 4 = 0
delta = 4 -16 = - 12 =4*3*i^2
pierwiastek z delty =2*pierw.z 3 *i
x1 = [2 -2 pierw. kw.z 3 *i]/2
x2 = [2 +2 pierw. kw.z 3 * i]/2
itd.
a) z²+4z+5=0
Δ = 4² - 4 * 5 = -4
√Δ = 2i
z₁ = (-4 + 2i ) / 2 = -2 + i
z₂ = (-4 - 2i ) / 2 = -2 - i
b) z⁴ - 2z²+4=0
Podstawienie:
x = z²
x² - 2x + 4 = 0
Δ = (-2)² - 4 * 4 = -12
√Δ = i * 2√3
x₁ = (2 + i * 2√3) / 2 = 1 + i * √3
x₂ = (2 - i * 2√3) / 2 = 1 - i * √3
Teraz powracamy do podstawienia:
1) z² = 1 + i * √3
(a + bi)² = 1 + i * √3
a² - b² - 2abi = 1 + i * √3
a² - b² = 1
- 2ab = √3 => b = -√3 / (2a)
a² - b² = 1 => a² - (-√3 / (2a))² = 1 =>
a² - 3 / (4a²) = 1 => a⁴ - 3/4 = a² => a⁴ - a² - 3/4 = 0
Stąd obliczamy a (musi być rzeczywiste), a następnie
podstawiamy tutaj: b = -√3 / (2a) i obliczamy b.
podstawienie: x = a²
x² - x - 3/4 = 0
Δ = 1 + 3 = 4
√Δ = 2
x1 = (1 + 2)/2 = 3/2
x2 = (1 - 2)/2 = -1/2
a² = x1 => a = √(3/2) lub a = - √(3/2)
a² = x2 => sprzeczność (a jest rzeczywiste)
b = -√3 / (2a)
czyli b = -√2 / 2 lub b = √2 / 2
2)z² = 1 - i * √3
Analogicznie do 1) :
(a + bi)² = 1 - i * √3
a² - b² - 2abi = 1 - i * √3
a² - b² = 1
- 2ab = -√3 => b = √3 / (2a)
a² - b² = 1 => a² - (√3 / (2a))² = 1 =>
a² - 3 / (4a²) = 1 => a⁴ - 3/4 = a² => a⁴ - a² - 3/4 = 0
Stąd obliczamy a (musi być rzeczywiste), a następnie
podstawiamy tutaj: b = √3 / (2a) i obliczamy b.
podstawienie: x = a²
x² - x - 3/4 = 0
Δ = 1 + 3 = 4
√Δ = 2
x1 = (1 + 2)/2 = 3/2
x2 = (1 - 2)/2 = -1/2
a² = x1 => a = √(3/2) lub a = - √(3/2)
a² = x2 => sprzeczność (a jest rzeczywiste)
b = √3 / (2a)
czyli b = √2 / 2 lub b = -√2 / 2
Ostatecznie:
z = √(3/2) + i * √2 / 2
z = √(3/2) - i * √2 / 2
z = - √(3/2) + i * √2 / 2
z = - √(3/2) - i * √2 / 2
Δ = 4² - 4 * 5 = -4
√Δ = 2i
z₁ = (-4 + 2i ) / 2 = -2 + i
z₂ = (-4 - 2i ) / 2 = -2 - i
b) z⁴ - 2z²+4=0
Podstawienie:
x = z²
x² - 2x + 4 = 0
Δ = (-2)² - 4 * 4 = -12
√Δ = i * 2√3
x₁ = (2 + i * 2√3) / 2 = 1 + i * √3
x₂ = (2 - i * 2√3) / 2 = 1 - i * √3
Teraz powracamy do podstawienia:
1) z² = 1 + i * √3
(a + bi)² = 1 + i * √3
a² - b² - 2abi = 1 + i * √3
a² - b² = 1
- 2ab = √3 => b = -√3 / (2a)
a² - b² = 1 => a² - (-√3 / (2a))² = 1 =>
a² - 3 / (4a²) = 1 => a⁴ - 3/4 = a² => a⁴ - a² - 3/4 = 0
Stąd obliczamy a (musi być rzeczywiste), a następnie
podstawiamy tutaj: b = -√3 / (2a) i obliczamy b.
podstawienie: x = a²
x² - x - 3/4 = 0
Δ = 1 + 3 = 4
√Δ = 2
x1 = (1 + 2)/2 = 3/2
x2 = (1 - 2)/2 = -1/2
a² = x1 => a = √(3/2) lub a = - √(3/2)
a² = x2 => sprzeczność (a jest rzeczywiste)
b = -√3 / (2a)
czyli b = -√2 / 2 lub b = √2 / 2
2)z² = 1 - i * √3
Analogicznie do 1) :
(a + bi)² = 1 - i * √3
a² - b² - 2abi = 1 - i * √3
a² - b² = 1
- 2ab = -√3 => b = √3 / (2a)
a² - b² = 1 => a² - (√3 / (2a))² = 1 =>
a² - 3 / (4a²) = 1 => a⁴ - 3/4 = a² => a⁴ - a² - 3/4 = 0
Stąd obliczamy a (musi być rzeczywiste), a następnie
podstawiamy tutaj: b = √3 / (2a) i obliczamy b.
podstawienie: x = a²
x² - x - 3/4 = 0
Δ = 1 + 3 = 4
√Δ = 2
x1 = (1 + 2)/2 = 3/2
x2 = (1 - 2)/2 = -1/2
a² = x1 => a = √(3/2) lub a = - √(3/2)
a² = x2 => sprzeczność (a jest rzeczywiste)
b = √3 / (2a)
czyli b = √2 / 2 lub b = -√2 / 2
Ostatecznie:
z = √(3/2) + i * √2 / 2
z = √(3/2) - i * √2 / 2
z = - √(3/2) + i * √2 / 2
z = - √(3/2) - i * √2 / 2
a) z²+4z+5=0
Δ = 16 - 20 = -4 = 4i²
√Δ = 2i
z₁ = -4 - 2i / 2 = -2 -i
z₂ = -2 + i
b.) z⁴ - 2z²+4=0
z² = t
t² - 2t + 4 = 0
Δ = 4 - 16 = -12 = 12i²
√Δ = √12 i = 2√3i
t₁ = 2 - 2√3i /2 = 1 - √3i
t₂ = 1 + √3i
c.)
z⁴+(15+7i)z²+8-15i=0
(a + bi)⁴ + (15 + 7i)(a+ bi)² = -8 + 15i
(a+ bi)² = (c + di)
(c + di)² + (15 + 7i)(c+ di) = -8 + 15i
c² - d² + 2di + 15c + 15di + 7ci -7d = -8 + 15i
c² - d²+ 15c-7d = -8
7c + 17d = 15
Δ = 16 - 20 = -4 = 4i²
√Δ = 2i
z₁ = -4 - 2i / 2 = -2 -i
z₂ = -2 + i
b.) z⁴ - 2z²+4=0
z² = t
t² - 2t + 4 = 0
Δ = 4 - 16 = -12 = 12i²
√Δ = √12 i = 2√3i
t₁ = 2 - 2√3i /2 = 1 - √3i
t₂ = 1 + √3i
c.)
z⁴+(15+7i)z²+8-15i=0
(a + bi)⁴ + (15 + 7i)(a+ bi)² = -8 + 15i
(a+ bi)² = (c + di)
(c + di)² + (15 + 7i)(c+ di) = -8 + 15i
c² - d² + 2di + 15c + 15di + 7ci -7d = -8 + 15i
c² - d²+ 15c-7d = -8
7c + 17d = 15