Domino
Jaś zaprosił Małgosię na wieczór gry w cyfrowe domino. W cyfrowe domino gramy korzystając z kostek, na których są dwie cyfry – po lewej oraz po prawej stronie. W zadaniach kostki będziemy oznaczać za pomocą cyfr w nawiasach kwadratowych. Na rysunku przedstawiono dwie kostki do gry: [2 5] i [7 1]


Kostek nie możemy obracać. Na początku gry losujemy kostki i układamy je obok siebie w jeden ciąg. Czasami Jaś i Małgosia dobierają dodatkowe kostki i dokładają je do ciągu z prawej strony. Następnie możemy zamieniać miejscami kostki, które przylegają do siebie w ciągu.

Celem gry jest dojście do poprawnego ułożenia, czyli takiego, w którym każda kolejna kostka styka się z poprzednią tą samą cyfrą.

Przykład
Małgosia wylosowała 5 kostek, które ułożyła w ciąg:
[1 2] [2 3] [3 4] [2 2] [4 2]
Istnieją dokładnie dwa różne poprawne ułożenia tego ciągu, które możemy uzyskać, dokonując zamian:

[1 2] [2 3] [3 4] [4 2] [2 2] - to poprawne ułożenie można uzyskać, wykonując jedną zamianę. Zauważ, że można je uzyskać również za pomocą trzech zamian lub pięciu zamian.



[1 2] [2 2] [2 3] [3 4] [4 2] - żeby uzyskać to poprawne ułożenie z ciągu Małgosi, trzeba wykonać co najmniej dwie zamiany.


Pytania dla klas 4-8
Pytanie 1.1.
Małgosia wylosowała trzy kostki cyfrowego domina, które ułożyła w następujący ciąg:
[2 4] [4 1] [1 4]

1.1.1
Nie wiem
Ciąg Małgosi jest poprawnym ułożeniem.
1.1.2
Nie wiem
Małgosia może uzyskać poprawne ułożenie, wykonując dokładnie jedną zamianę.
1.1.3
Nie wiem
Małgosia może uzyskać poprawne ułożenie, wykonując dokładnie dwie zamiany.
1.1.4
Nie wiem
Jeżeli Małgosia dobierze kostkę [2 4] , może wykonać pewną liczbę zamian i uzyskać poprawne ułożenie.
1.1.5
Nie wiem
Jeżeli Małgosia dobierze kostkę [1 1] (do oryginalnego ciągu z treści pytania), może wykonać pewną liczbę zamian i uzyskać poprawne ułożenie.


Pytanie 1.2.
Jaś wylosował cztery kostki cyfrowego domina i ułożył je w ciąg:
[1 4] [4 1] [2 1] [1 2]

1.2.1
Nie wiem
Jaś może uzyskać poprawne ułożenie, wykonując dokładnie dwie zamiany.
1.2.2
Nie wiem
Jaś może uzyskać poprawne ułożenie, wykonując dokładnie pięć zamian.
1.2.3
Nie wiem
W każdym poprawnym ułożeniu kostki [1 4] i [4 1] muszą stykać się czwórką.
1.2.4
Nie wiem
Poprawne ułożenie może rozpoczynać się od kostki [1 2] .
1.2.5
Nie wiem
Jeżeli Jaś dobierze kostkę [2 4] , może uzyskać poprawne ułożenie po wykonaniu pewnej liczby zamian.


Pytanie 1.3.
Małgosia wylosowała pięć kostek cyfrowego domina, które ułożyła w następujący ciąg:
[2 5] [1 3] [5 1] [3 2] [3 1]

1.3.1
Nie wiem
Małgosia dokonując zamian może uzyskać więcej niż dwa różne poprawne ułożenia.
1.3.2
Nie wiem
Aby uzyskać poprawne ułożenie, Małgosia musi wykonać co najmniej 4 zamiany.
1.3.3
Nie wiem
Małgosia może uzyskać poprawne ułożenie wykonując dokładnie 12 zamian.
1.3.4
Nie wiem
Nie istnieją dwa różne poprawne ułożenia tego ciągu, które zaczynają się od tej samej kostki.
1.3.5
Nie wiem
Mając 25 różnych kostek z cyframi od 1 do 5, można wybrać taką, której dobranie do ciągu uniemożliwi uzyskanie poprawnego ułożenia.


Pytania dla klas 7-8
Pytanie 1.4.
Małgosia wylosowała 9 kostek cyfrowego domina, które ułożyła w następujący ciąg:
[1 1] [1 2] [1 3] [2 1] [2 2] [2 3] [3 1] [3 2] [3 3]

1.4.1
Nie wiem
Małgosia może uzyskać takie poprawne ułożenie, że cyfra po lewej stronie pierwszej kostki jest różna od cyfry po prawej stronie ostatniej kostki.
1.4.2
Nie wiem
Małgosia może uzyskać więcej niż 200 różnych poprawnych ułożeń.


Pytanie 1.5.
Jaś wziął całe pudełko kostek, które zawiera 100 różnych kostek cyfrowego domina, na których są cyfry od 0 do 9. Ułożył je wszystkie w pewien ciąg.

1.5.1
Nie wiem
Jaś może uzyskać 100 różnych poprawnych ułożeń, z których każde zaczynałoby się od innej kostki.
1.5.2
Nie wiem
Jaś nie może uzyskać więcej niż stu miliardów różnych poprawnych ułożeń.
1.5.3
Nie wiem
Niezależnie od początkowego ułożenia kostek w ciągu, Jaś może uzyskać poprawne ułożenie, wykonując co najwyżej 5000 zamian.